这篇文章总结了概率统计中期望、方差、协方差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。
期望
定义
设$P(x)$是一个离散概率分布函数，自变量的取值范围为$\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}$。其期望被定义为：
$$E(x)=\sum_{k=1}^n{x_kP(x_k)}$$
设$p(x)$是一个连续概率密度函数。其期望为：
$$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xp(x)dx}$$
性质
1、线性运算规则
期望服从线性性质（可以很容易从期望的定义公式中导出）。因此线性运算的期望等于期望的线性运算：
$$E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+c$$
这个性质可以推广到任意一般情况：
$$E(\sum_{k=1}^{n}{a_ix_i}+c)=\sum_{k=1}^{n}{a_iE(x_i)}+c$$
2、函数的期望
设$f(x)$为x的函数，则$f(x)$的期望为：
离散：
$$E(f(x))=\sum_{k=1}^n{f(x_k)P(x_k)}$$
连续：
$$E(f(x))=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)p(x)dx}$$
一定要注意，函数的期望不等于期望的函数，即$E(f(x)) \ne f(E(x))$！。
3、乘积的期望
一般来说，乘积的期望不等于期望的乘积，除非变量相互独立。因此，如果x和y相互独立，则$E(xy)=E(x)E(y)$。
期望的运算构成了统计量的运算基础，因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望。
方差
定义
方差是一种特殊的期望，被定义为：
$$Var(x)=E((x-E(x))^2)$$
性质
1、展开表示
反复利用期望的线性性质，可以算出方差的另一种表示形式：
$$\begin{array}{l l l} Var(x) & = & E((x-E(x))^2) \\ & = & E(x^2-2xE(x)+(E(x))^2) \\ & = & E(x^2)-2E(x)E(x)+(E(x))^2 \\ & = & E(x^2)-2(E(x))^2+(E(x))^2 \\ & = & E(x^2)-(E(x))^2 \end{array}$$
2、常数的方差
常数的方差为0，由方差的展开表示很容易推得。
3、线性组合的方差
方差不满足线性性质，两个变量的线性组合方差计算方法如下：
$$Var(ax+by)=a^2Var(x)+b^2Var(y)+2Cov(x,y)$$
其中$Cov(x,y)$为x和y的协方差，下一节讨论。
4、独立变量的方差
如果两个变量相互独立，则：
$$Var(ax+by)=a^2Var(x)+b^2Var(y)$$
作为推论，如果x和y相互独立：$Var(x+y)=Var(x)+Var(y)$。
协方差
定义
两个随机变量的协方差被定义为：
$$Cov(x,y)=E((x-E(x))(y-E(y)))$$
因此方差是一种特殊的协方差。当x=y时，$Cov(x,y)=Var(x)=Var(y)$。
性质
1、独立变量的协方差
独立变量的协方差为0，可以由协方差公式推导出。
2、线性组合的协方差
协方差最重要的性质如下：
$$Cov(\sum_{i=1}^m{a_ix_i}, \sum_{j=1}^n{b_jy_j})=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{a_i b_j Cov(x_i, y_j)}}$$
很多协方差的计算都是反复利用这个性质，而且可以导出一些列重要结论。
作为一种特殊情况：
$$Cov(a+bx,c+dy)=bdCov(x,y)$$
另外当x=y时，可以导出方差的一般线性组合求解公式：
$$Var(\sum_{k=1}^n{a_ix_i})=\sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^n{a_ia_jCov(x_i,x_j)}}$$
相关系数
定义
相关系数通过方差和协方差定义。两个随机变量的相关系数被定义为：
$$Corr(x,y)=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{Var(x)Var(y)}}$$
性质
1、有界性
相关系数的取值范围为-1到1，其可以看成是无量纲的协方差。
2、统计意义
值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强，越接近-1，说明负相关性越强，当为0时表示两个变量没有相关性。